رياضيات الصف السادس

تعريف النسبة : هي مقارنة بين عددين أو أكثر من نفس النوع ومن نفس الوحدة وليس لها تمييز ويرمز لها بالرمز ( س : ص ) وتقرأ س إلي ص ، ويسمي ( س ، ص ) حدي النسبة
مثال : النسبة بين أحمد محمد = أحمد : محمد
لاحظ أن :
النسبة بين عدد وعدد آخر = العددالاول/العددالثاني = العدد الأول : العدد الثاني
النسبة كسر اعتيادي قابل للاختصار
لا يمكن إيجاد النسبة إلا إذا كانت من نوع واحد ( أوزان – أطوال - ...) أو من وحدة واحدة ( جنيه – متر - ... )
لابد أن يكون حدي النسبة أعداد صحيحة
حدا النسبة إذا ضرب في عدد ما أو قسما علي عدد ما فإنه ينتج نسبة أخري تساوي النسبة الأولي .
لاحظ ما يأتي جيدا : إذا كان الاول/الثاني = نسبة فإن : 1- الأول = النسبة × الثاني
2- الثاني = مقلوب النسبة × الأول
تمرين محلول : أوجد النسبة بين كل مما يأتي :
64 ، 128 2 ) 2 2/3 ∶ 4/9 3) 0,7 : 1,12 4) المسافتين 3,75 كم ، 11250مترا
الحل1 : في المثال الأول نكتب العددين في صورة نسبة ثم نختصر 64 : 128 = 1 : 2
الحل 2 : طريقة (1) نكتب الكسرين في صورة نسبة ثم نتخلص من المقامات وذلك بضرب الكسرين في رقم يقبل القسمة علي المقامين ( م.م.أ) ثم نختصر 8/3×9 ∶ 4/9 × 9 = 4 : 24 = 1 : 6
: طريقة (2) : طريقة المقص وهي ( بسط الأول × مقام الثاني ) : ( مقام الأول × بسط الثاني )
8/3 ∶ 4/9 = 12 : 72 ( بالقسمة علي 12 )= 1 : 6
الحل 3 : نكتب الكسرين في صورة نسبة ثم نتخلص من العلامة العشرية وذلك بضرب الكسرين في ( 10 ، 100 ، 1000 ،... ) أو أن نزن الكسور ثم ننزع العلامة العشرية
0,70 : 1,12 (بالضرب × 100تتحرك العلامة ناحية اليمين حركتين ) = 70 : 112) بالاختصار (24÷= 5 : 8
الحل 4 : نلاحظ أن الوحدات مختلفة ولذلك يجب علينا توحيد الوحدة ( كم = 1000متر ) ثم نكتب النسبة ونختصر
3750 : 11250 ( بالاختصار ) = 1 : 3
وحدات الأطوال
كم =1000 متر المتر= 10ديسم المتر=100سم المتر=1000مم ديسم = 10سم ديسم = 100مم سم = 10 مم
وحدات الأوزان
الطن = 1000 كيلو جرام كيلوجرام = 1000 جرام
وحدات الزمن
السنة = 365 يوم السنة = 12 شهرا الشهر = 30 يوم الأسبوع = 7 أيام اليوم = 24 ساعة الساعة = 60 دقيقة الدقيقة = 60 ثانية
وحدات النقود
الجنية = 100 قرش
وحدات المساحة
م2 = 100 ديسم2 م2 = 10000سم2 م2 = 1000000مم2
ديسم2 = 100سم2 ديسم2 = 10000مم2 سم2 = 100مم2
الفدان = 24 قيراط القيراط = 24 سهم
قاعدة التحويل
عند التحويل من الوحدات الكبيرة إلي الوحدات الصغيرة نضرب
وعند التحويل من الوحدات الصغيرة إلي الوحدات الكبيرة نقسم
مسائل المعدلات

وهو النسبة بين ما تقطعه الآلة والزمن أي أن معدل أداء الآلة = ( الكيلومترات أو اللترات )/الزمن وعل هذا فإن تمييز معدل الأداء يكون مركبا حيث يكتب تمييز البسط أولا ثم شرطة مائلة ( / ) تقرأ ( لكل ) ثم بعد ذلك تمييز المقام .
تمارين معدل الأداء نوعان :
الأول : وهذا النوع يعطيك آلة واحدة فقط ويطلب منك معدل الأداء ويكون حلها مباشرة بقسمة اللترات أو الكيلومترات علي الزمن مع كتابة التمييز المركب المناسب . بدون تحويل الوحدات .
مثال محلول : آلة زراعية تحرث 6 أفدنة في 3 ساعات أوجد معدل الأداء هذه الآلة ؟.
الحل معدل أداء الآلة = 6/3 = 2 فدان / ساعة
الثاني : وهذا النوع يعطيك آلتين من نفس النوع وكل آلة لها أداء مختلف عن الأخرى ومطلوب التعرف علي الأداء الأفضل لأي الآلتين . ويتم ذلك أولا عن طريق توحيد الوحدات بين الآلتين ثم نأتي بمعدل أداء كل آلة علي حدة ثم نقارن بينهما للتعرف الآلة الأفضل
مثال محلول : جراران زراعيان أحداهما يحرث قطعة ارض مساحتها 12 فدان في ثلاث ساعات والآخر يحرث 12 قيراط في ثمان دقائق فأي الجرارين أفضل ؟.
الحل : أولا نوحد الوحدات المستخدمة لكل من الجرارين ثم ،أتي بمعدل الأداء لكل جرار
معدل أداء الجرار الأول =(12×24)/(3×60) = 8/5 = 1,6 قيراط / دقيقة
معدل أداء الجرار الثاني =12/8 = 1,5 قيراط / دقيقة
وعلي هذا فإن الجرار الأول أفضل من الجرار الثاني .
ي هذا الدرس تطبيق عملي علي استخدام النسبة في الحياة العملية ولهذه التطبيقات ثلاث أنواع :
تطبيقات بسيطة وفيها تكتب النسبة هكذا : ( الأول : الثاني )
تطبيقات (( المجموع )) وفيها تكتب النسبة هكذا : ( الأول : الثاني : المجموع ) وهناك ألفاظ تدل علي تطبيقات المجموع مثل ( مجموع – معا – الأول والثاني – معهما – يكون المال للاثنين )
تطبيقات (( الفرق )) وفيها تكتب النسب هكذا : ( الأول : الثاني : الفرق ) وهناك ألفاظ تدل علي تطبيقات الفرق مثل ( ينقص – يقل – الفرق – الزيادة – يزيد )
طريقة حل التطبيقات علي النسبة :
قراءة المسألة قراءة جيدة وتحديد نوع التمرين أولا ( بسيط – مجموع – فرق )
نكتب النسبة مرتبة حسب المسألة ( الأول : الثاني ) أو ( الأول : الثاني : المجموع) أو ( الأول : الثاني : الفرق )
نضع الأعداد في أماكنها المناسبة فنجد أن هناك أرقام مكتوبة علي بعض
نجد قيمة الجزء الواحد = العدد ÷ نسبته
نجد العدد الأول = قيمة الجزء × حده ، والعدد الثاني = قيمة الجزء × حده ، والعدد الثالث = قيمة الجزء × حده
مثال محلول : النسبة بين عدد البنين وعدد البنات في أحدي المدارس كنسبة 7 : 5 فإذا كان عدد البنات 465 بنتا أوجد عدد البنين ؟.
الحل :
بنين : بنات
7 : 5
س : 465
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
قيمة الجزء = 465 ÷ 5 =93 تلميذا
عدد البنين = 7 × 93 = 641 تلميذا
مثال محلول : اذا كانت نسبة ما مع هدي إلي ما مع ليلي كنسبة 2 : 5 وكان مجموع ما معهما 350جنيها أوجد ما مع كل منهما ؟.
الحل :
هدي : ليلي : المجموع
2 : 5 : 7
س : ص : 350
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
قيمة الجزء = 350 ÷ 7 = 50 جنيه
ما مع هدي = 2 × 50 = 100 جنيها
ما مع ليلي = 5 × 50 = 250 جنيها

مثال محلول : إذا كان وزن سامية الي وزن سهام كنسبة 7 : 6 وكان الفرق بين وزنيهما 9,6 كيلوجرام أوجد وزن كل منهما ؟.
الحل :
سامية : سهام : الفرق
7 : 6 : 1
س : ص : 9,6
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
قيمة الجزء = 9,6 ÷ 1 = 9,6 كجم
وزن سامية = 9,6 × 7 =67,2 كجم
وزن سهام = 9,6 × 6 = 57, كجم
النسبة بين ثلاث أعداد : هي مقارنة بين ثلاثة أعداد من نفس الوحدة ومن نفس النوع وليس لها تمييز ولها نفس خصائص النسبة بين الرقمين إلا أنها تزيد فقط الحد الثالث حيث تكتب النسبة ( الأول : الثاني : الثالث )
تمرين محلول : اوجد النسبة بين 27 كيلو جرام موز و36كيلوجرام برتقال و54كيلو جرام يوسفي
الحل : موز : برتقال : يوسفي
27 : 36 : 54 بالقسمة علي 9
3 : 4 : 6
ملاحظة هامة : إذا كان حدي النسبة مشترك فنستخدم طريقة حرف N وذلك لايجاد النسبة بين الثلاثة فمثلا : اذا كانت النسبة بين بتول وبسملة 2 : 3 ، وكانت النسبة بين بسملة وأشرف 5 : 6 فإننا نجد أن بسملة مشتركة بين النسبتين ولذلك عند ايجاد النسبة بين الثلاثة نستخدم طريقة حرف N كالتالي
بتول : بسملة : أشرف
2 : 3
5 : 6
10 : 15 : 18
أولا : مفهوم التناسب :هو تساوي نسبتين أو أكثر أي وهكذا ...وعلي هذا فإنه إذا وجد نسبتين متساويتين فإن ذلك يسمي تناسبا ولذلك يمكن عمل كميات متناسبة عن طريق ضرب البسط والمقام ( حدي النسبة ) في نفس الرقم أو قسمة البسط والمقام ( حدي النسبة ) علي نفس الرقم .

مثال محلول : اوجد نسبة أخري تساوي النسبة الآتية

= = وعلي هذا فإن ، كميات متناسبة

= = وعلي هذا فإن =، كميات متناسبة

مثال محلول : اذا علمت أن النسب الآتية متناسبة فاوجد الحد الناقص لما يأتي
الطريقة الأولي : حيث نلاحظ أن 6 أمامها 30 أي أن 6 أصبحت 30 ويكون ذلك بضرب 6 × 5 وعلي هذا فسنضرب البسط (5) × (5) كما فعلنا في المقام فيكون الناتج 25 إذا يوضع مكان النقط 25
الطريقة الثانية ويتم ذلك بعمل المقص كالتالي 6/5=30/سس
فنجد أن هناك رقمين متصلين بخط نقوم بضربهم 5 =180 ×36
أولا ثم نقسم علي الرقم الثالث هكذا 180÷6=30 فيكون الناتج 25 توضع مكان النقط
للتناسب خواص هامة جدا فداوم علي حفظها .. وهي :

إذا ضرب حدي النسبة في عدد ما فإنه ينتج نسبة أخري تساوي النسبة الاولي
-2إذا قسم حدي النسبة علي عدد ما فإنه ينتج نسبة تساوي النسبة الاولي

-3حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
إذا كان (( س ، ص ، ع ، ل )) أعداد متناسبة فإن ع/ل=س/ص
كيفية إيجاد الحد الناقص في الأعداد المتناسبة مستخدما حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
= نقوم بعمل مقص (( × )) كما بالشكل ونحدد الرقمين المتقابلين ( 5 ، 8 ) ثم نضربهم
والناتج يقسم علي الرقم الثالث أي أن : س = = 20
كيفية حل المسائل الحياتية علي التناسب مستخدما التناسب وخواصه
نكتب التمييزين علي صورة نسبة ( التمييز الأول : التمييز الثاني ) ثم نكتب تحت كل حد نسبة الرقم الخاص به فنجد أن هناك حد ناقص نكتب تحته
( س ) أو ( ص ) أو ( ع ) أو أي رمز آخر ثم نستخدم التناسب وخواصه لإيجاد قيمة هذا الرمز ، كما يمكن الحل بطريقة الجداول كالآتي
التمييز الأول رقم 1 رقم 3

التمييز الثاني رقم 2 س

س = ( ولا تنسي التمييز )
تمرين محلول : اذا كان ثمن 40 لترا من البنزين العادي 36 جنيها فأوجد ثمن 25 لترا من نفس النوع ؟.
الحل : نكتب التميزين علي صورة نسبة لتر : الثمن
نضع كل رقم تحت تمييزه 40 : 36 ثم نأتي بقيمة س كالتالي : == 22.5 جنيه
25 : س ؟
تمرين محلول :اشتري نديم 7 زجاجات من المياه الغازية فدفع 245 قرشا أوجد الثمن الذي يدفعه اذا اشتري 17 زجاجة ؟.
الحل : نكتب التميزين علي صورة نسبة عدد الزجاجات : الثمن
نضع كل رقم تحت تمييزه 7 : 245 ثم نأتي بقيمة س كالتالي : == 595قرش
17 : س ؟

تم دراسة مقياس الرسم في الصف الرابع الابتدائي في مادة الدراسات وكذلك في الصف الخامس في مادة العلوم
ويستخدم مقياس الرسم في تكبير وتصغير الخرائط والصور ولذلك يعرف مقياس الرسم بأنه النسبة بين الطول في الرسم والطول الحقيقي أي أن :

الرسم مقياس =





مقياس الرسم ليس له تمييز لأنه نسبة
لابد من توحيد الوحدات المستخدمة في الطول في الرسم والطول الحقيقي
يكون مقياس الرسم للتكبير إذا كان مقياس الرسم > 1 ( الطول في الرسم > الطول الحقيقي )
يكون مقياس الرسم للتصغير إذا كان مقياس الرسم < 1 ( الطول في الرسم < الطول الحقيقي )

طريقة أخري(2) لحل تمارين مقياس الرسم :
يتم كتابة الرسم : الحقيقة
يتم كتابة مقياس الرسم الموجود في المسألة
يتم كتابة الطول في الريم أو الطول الحقيقي حسب المسألة
الطول في الرسم الحد الأول من مقياس الرسم ؟؟؟
الطول في الحقيقة الحد الثاني من مقياس الرسم ؟؟؟
نوجد الحد الناقص منها باستخدام التناسب
طريقة أخري(3) لحل تمارين مقياس الرسم :
عمل جدول كما بالشكل
كتابة البيانات صحيحة كلٌ في مكانه
إيجاد الحد الناقص باستخدام التناسب
مثال (1) : المسافة بين بلدين35 كيلومترا ، فإذا كانت المسافة بين البلدين علي الخريطة
5سم أوجد مقياس الرسم
مياس الرسم = رسم: حقيقي
5 : 00000 35 ÷5
1 :00000 7


مثال (2) : خريطة مقياس رسمها 1 : 400000 فإذا كانت المسافة بين بلدتين 256 كيلو مترا فكم تبلغ المسافة علي الخريطة بالسنتيمتر ؟.
رسم : حقيقي
1 :00000 4
? :256
البعد في الرسم = (100000× 256 ×1)/400000= 64 سم


مثال : رسمت خريطة بمقياس رسم 1 : 200000 وكانت المسافة بين ميدان الجيزة والاهرامات الثلاثة 3.6سم أوجد المسافة الحقيقية بينهما بالكيلومتر
رسم : حقيقي
1 : 00000 2
3.6 : ?
البعد الحقيقي=(200000 ×3.6)/(1×100000)=7.2 كم

ااستاذنا منور بجد وتسلم اديك على الشرح لوافى المبسط وعلى بركه الله
الى الامام